Được tạo bởi Blogger.
RSS

Khi nào thì giả thuyết Catalan trở thành đúng đắn?

| Nhãn:

         Hãy xét một ví dụ có vẻ như ngớ ngẩn khác là Giả thuyết Catalan. số 8 và số 9 là hai số nguyên liền nhau và cả đều tương đương với một số lũy thửa thuần, tức là 8 = 23 và 9 = 32. Vào năm 1844, nhà toán học người Bỉ Eugène Charles Catalan (1814 – 94) đã phỏng đoán rằng trong số tất cả các lũy thừa khả dĩ của các số nguyên thì chỉ có cặp duy nhất là hai số nguyên liền tiếp là 8 và 9 (trừ 0 và 1). Hay nói cách khác, bạn có thể dành cả đời mình để viết ra tất cả các số lũy thừa thuần có tồn tại.

Khi nào thì giả thuyết Catalan trở thành đúng đắn?

         Ngoài 8 và 9 ra, bạn sẽ không tim thấy hai số nào trong số các lũy thừa ấy khác nhau 1 đơn vị. Vào năm 1342, nhà toán học và triết học người Pháp gốc Do Thái là Levi Ben Gerson (1288-1344) đã thực sự chứng minh được một phần nhỏ của giả thuyết này – rằng 8 và 9 là những lũy thừa duy nhất của 2 và 3, hơn kém nhau 1 đơn vị. Một bước quan trọng được thực hiện bởi nhà toán học Robert Tijdeman vào năm 1976. Tuy nhiên, chứng minh tổng quát của giả thuyết Catalan đã làm bối rối những bộ óc toán học xuất chúng nhất trong suốt hơn 150 năm.

       Cuối cùng, vào ngày 18 tháng 4 năm 2002, nhà toán học người Rumani Preda Mihailescu đã đưa ra một chứng minh hoàn hảo cho giả thuyết này. Chứng minh của ông được công bố vào năm 2004 và giờ thì đã được chấp nhận hoàn toàn. Một lần nữa bạn có thể hỏi: Khi nào thì giả thuyết Catalan trở thành đúng đắn? Năm 1342, 1844, 1976, 2002 hay 2004? Lẽ nào còn chưa rõ ràng rằng phát biểu này là luôn luôn đúng, chỉ có điều là chúng ta không biết là nó đúng thôi? Đó là những loại chân lý mà những người theo Plato gọi là “đúng đắn một cách khách quan”.


Từ khóa tìm kiếm nhiều: nha bac hoc

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

Những sự thú vị trong toán học

| Nhãn:

        Hãy xét mệnh đề dễ hiểu sau đây: mỗi một số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố (là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó). Phát biểu nghe có vẻ đơn giản này được gọi là giả thuyết Goldbach, vì một phỏng đoán tương đương xuất hiện trong một bức thư do nhà toán học nghiệp dư nước Phổ là Christian Goldbach (1690-1764) viết vào ngày 7 tháng 6 năm 1742.

       Bạn có thể dễ dàng kiểm ưa lại tính đúng đắn của phỏng đoán này bằng một vài số chẵn đầu tiêm 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7; 12 = 5+7; 14 = 3+11 (hay 7+7); 16 = 5+11 (hay 3+13); và cứ tiếp tục như vậy. Phát biểu này đơn giản tới mức nhà toán học người Anh G. H. Hardy đã tuyên bố rằng “bất kỳ thằng ngốc nào cũng có thể phỏng đoán được như vậy”. Thực tế, nhà triết học và toán học người Pháp René Descartes đã biết giả thuyết này còn trước cả Goldbach.

Những sự thú vị trong toán học

      Tuy nhiên, chứng minh giả thuyết này hóa ra lại là một vấn đề hoàn toàn khác. Năm 1966, nhà toán học người Trung Quốc Trần cảnh Nhuận đã tiến được một bước lớn trong việc chứng minh nó. ông đã tìm cách chứng minh rằng mọi Số nguyên chẵn đủ lớn là tổng của hai số, trong đó một số là số nguyên tố còn số kia nhiều nhất là tích của hai số nguyên tố. Đến cuối năm 2005, nhà nghiên cứu Bồ Đào Nha Tomás Oliveira e Silva đã chứng minh phỏng đoán này là đúng với các số lên đến 3xl017 (ba trăm ngàn triệu triệu).

      Tuy nhiên, mặc dù có sự nỗ lực vô cùng to lớn của rất nhiều nhà toán học tài năng, song tại thời điểm viết cuốn sách này, người ta vẫn chưa có được một chứng minh tổng quát. Ngay cả sự cám dỗ của một phần thưởng trị giá 1 triệu đôla được đưa ra vào khoảng thời gian từ 20 tháng 3 năm 2000 đến 20 tháng 3 năm 2002 (nhằm quảng bá cho cuốn tiểu thuyết nhan đề Cậu Petros và giả thuyết Goldbach), cũng không mang lại kết quả mong đợi. Tuy nhiên ở đây, vấn đề nan giải là ý nghĩa của cụm tử “đúng đắn một cách khách quan” trong toán học. Giả sử rằng một chứng minh chặt chẽ sẽ thực sự được công bố vào năm 2016. Liệu chúng ta khi đó có thể nói rằng phát biểu này thực sự đã là đúng khi Descartes lần đầu tiên nghĩ về nó không?


Đọc thêm tại: 

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

Toán học theo học thuyết của Plato

| Nhãn:

        Những đề nghị của Plato đối với việc nghiên cứu thiên văn học cũng được ngay cả một số người nhiệt thành nhất của học thuyết Plato coi là còn phải bàn cãi. Những người bảo vệ các ý kiến của ông thì cho rằng điều mà Plato thực sự muốn nói không phải là bản thân thiên văn học thực thụ phải có quan tâm tới một bầu trời lý tưởng nào đó, không liên quan gì đến bầu trời quan sát được, mà nó cần phải có quan hệ với những chuyển động thực của các thiên thể đối ngược với những chuyển động biểu kiến như được nhìn thấy từ Trái đất.

        Tuy nhiên, những người khác chỉ ra rằng, một sự bám theo quá sát câu châm ngôn của Plato sẽ làm cản trở sự phát triển của thiên văn học dựa vào quan sát với tư cách là một môn khoa học. Là sự diễn giải thái độ của Plato đối với thiên văn học như nó có thể, học thuyết Plato đã trở thành một trong những giáo điều hàng đầu khi nó chạm đến những nền tảng của toán học.

Toán học theo học thuyết của Plato

        Nhưng thế giới Platonic của toán học liệu có thực sự tồn tại? Mà nếu có thì chính xác nó ở đâu? Và những phát biểu “đúng đắn một cách khách quan” sống trong thế giới này là những gì? Hay phải chăng các nhà toán học gia nhập trường phái Plato đơn giản chỉ là biểu thị cùng một thứ niềm tin lãng mạn mà người đời đã gán cho họa sĩ vĩ đại thời Phục Hưng Michelangelo? Theo truyền thuyết thì Michelangelo tin rằng những bức tượng tuyệt vời của ông thực sự đã tồn tại sẵn bên trong những khối đá hoa cương và nhiệm vụ của ông chỉ là làm cho chúng lộ ra mà thôi.

       Những người theo học thuyết Plato hiện đại (vâng, họ vẫn thực sự tồn tại và quan điểm của họ sẽ được trình bày chi tiết hơn ở các chương sau) khăng khăng rằng thế giới Platonic của các dạng toán học là thực, và họ đã đưa ra những thứ mà họ coi như những ví dụ cụ thể về những phát biểu toán học đúng đắn một cách khách quan tồn tại trong thế giới đó.


Từ khóa tìm kiếm nhiều: những nhà bác học nổi tiếng thế giới

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

Nội dung học thuyết của Plato

| Nhãn:

      Các quan điểm của Plato với tư cách là học thuyết Plato đã tạo nên cơ sở cho những điều đã trở nên quen thuộc trong triết học nói chung và trong những thảo luận về bản chất của toán học nói riêng. Học thuyết Plato theo nghĩa rộng nhất của nó là ủng hộ niềm tin vào những thực tại trừu tượng, vĩnh cửu, không thể thay đổi, hoàn toàn độc lập với thế giới nhất thời mà chúng ta cảm nhận được bằng các giác quan của mình.

     Theo học thuyết Plato, sự tồn tại thực của các đối tượng toán học cũng là một thực tế khách quan như sự tồn tại của chính bản thân vũ trụ vậy. Không chỉ là các số tự nhiên, các đường tròn, hình vuông tồn tại mà cả các số ảo, các hàm số, các hình tractal, các hình học phi Euclid, và các tập hợp vô hạn cũng như rất nhiều các định lý khác nhau về những thực thể đó. Nói gọn lại thì mỗi một khái niệm toán học hay một mệnh đề “đúng đắn một cách khách quan” (sẽ được định nghĩa sau) đã được phát biểu hoặc tưởng tượng ra, và cả một số vô hạn các khái niệm và mệnh đề vẫn còn chưa được phát hiện, chúng đều là những thực thể tuyệt đối, hoặc phổ quát, không thể tạo ra hay hủy bỏ được.

Nội dung học thuyết của Plato

     Chúng tồn tại độc lập với chuyện chúng ta có hiểu biết về chúng hay không. Khỏi cần phải nói rằng các đối tượng này không phải là vật chất – chúng sống trong một thế giới tự lập của những thực thể phi thời gian. Học thuyết Plato xem các nhà toán học như là những nhà thám hiểm của những vừng đất lạ; họ chỉ có thể khám phá ra các chân lý toán học chứ không phát minh ra chúng. Giống như là châu Mỹ vẫn luôn ở đó trước khi Columbus (hay Leif Ericson) khám phá ra nó, các định lý toán học cũng tồn tại trong thế giới Platonic trước khi những người Babylon có những nghiên cứu đầu tiên về toán học.

      Đối với Plato, chỉ những dạng và những ý tưởng trừu tượng của toán học mới thực sự và trọn vẹn tồn tại, vì, như ông khẳng định, chỉ trong toán học, chúng ta mới có thể có được những tri thức tuyệt đối chính xác và khách quan. Chính vì vậy, trong tâm trí của Plato, toán học trở nên gắn bó gần gũi với thần thánh. Trong tác phẩm đối thoại Timaeus, đấng sáng tạo đã sử dụng toán học để nhào nặn nên thế giới, và trong cuốn Nền cộng hòa, tri thức về toán học được xem như là một bước cốt yếu trên con đường tiến tới sự hiểu biết về những dạng thần thánh. Plato không sử dụng toán học để phát biểu một số định luật của tự nhiên mà ta có thể kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Đúng hơn, đối với ông, đặc tính toán học của thế giới đơn giản chỉ là một hệ quả của thực tế là “Thượng đế luôn hình học hóa”.

      Plato mở rộng ý niệm của minh về “các dạng thực” sang cả những lĩnh vực khác, đặc biệt là đối với thiên văn học. Ôngluận giải rằng trong thiên văn học thực “chúng ta phải để mặc cho bầu trời” và đừng có cố gắng giải thích sự bố trí cũng như những chuyển động biểu kiến của những ngôi sao nhìn thấy được. Thay vì thế, Plato coi thiên văn học thực như là một môn khoa học nghiên cứu các quy luật chuyển động trong một thế giới toán học lý tưởng nào đó, mà đối với nó bầu trời quan sát được chi là một sự minh họa (cũng giống như các hình hình học được vẽ trên giấy CÓI cũng chỉ là để minh họa cho các hình thực).


Từ khóa tìm kiếm nhiều: những nhà bác học nổi tiếng

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

Bản chất của toán học theo Plato

| Nhãn:

      Một vấn đề cơ bản khác mà Plato đã nghiên cứu chi tiết có liên quan đến bản chất của chứng minh toán học như là một quá trình dựa trên các định đề và tiên đề. Các tiên đề là những điều khẳng định cơ bản mà sự đúng đắn của chúng được coi là hiển nhiên, không cần phải chứng minh. Chẳng hạn, tiên đề đầu tiên trong hình học Euclid là “giữa hai điểm bất kỳ có thể vẽ được một đường thẳng”. Trong cuốn Nền cộng hòa, Plato đã kết hợp một cách đẹp đẽ khái niệm các đinh đề với ý niệm của ông về thế giới của các dạng toán học:

Bản chất của toán học theo Plato

      Tôi nghĩ là các bạn biết rằng những người bận tâm với hình học và tính toán cùng những thứ tương tự, thường cho các số chẵn và lẻ, các hình, ba loại góc, và những thứ khác tương tự đều là hiển nhiên; khi giả sử những điều này đều đã biết, họ sẽ lấy chúng làm các giả thiết và từ đó họ không cảm thấy cần phải đưa ra bất kỳ giải thích nào liên quan đến chúng, dù là với chính họ hay bất kỳ ai khác; dựa trên chính những giả thiết này, họ ngay lập tức tiếp tục thực hiện phần còn lại của lập luận cho đến khi họ đạt đến, với sự tán thành chung, một kết luận cụ thể mà họ nhắm đến.

       Hơn nữa, bạn cũng biết rằng họ sử dụng các hình nhìn thấy được và tranh luận về chúng, như khi làm như vậy họ không nghĩ về các hình này mà là vè những thứ mà chúng biểu diễn; vì vậy, hình vuông tuyệt đối và đường kính tuyệt đối mới là đối tượng lập luận của họ, chứ không phải là cái đường kính mà họ vẽ… mục đích của người nghiên cứu là nhìn cái đối ứng tuyệt đối của nó mà ta chi có thể nhìn thấy được bằng ý nghĩ tác giả nhấn mạnh.


Từ khóa tìm kiếm nhiều: các nhà bác học nổi tiếng

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Đăng ký: Bài đăng (Atom)