Một đóng góp chủ yếu khác của những người theo trường phái Pythagoras, đó là sự phát hiện một cách tỉnh táo rằng “tôn giáo số” của riêng họ, trên thực tế, thật đáng tiếc là không vận hành được. Các số nguyên 1, 2, 3,… là không đủ ngay cả để xây dựng toán học, chứ chưa nói gì đến việc mô tả vũ trụ. Hãy xét hình vuông ở hình 6, trong đó độ dài của một cạnh là 1 đơn vi và độ dài đường chéo biểu thị bằng d. Chúng ta có thể dễ dàng tính được độ dài của đường chéo này bằng cách sử dụng định lý Pythagoras đối với một trong hai tam giác vuông do đường chéo đó chia đôi hình vuông. Theo định lý này thi bình phương đường chéo (cạnh huyền) bằng tổng bình phương hai cạnh: d2 = 12+12 = 2. Một khi bạn đã biết bình phương của một số dương thì bạn có thể tính ra số đó bằng cách lấy căn bậc 2 (ví dụ như nếu X2 = 9 thì X = V9 = 3). Như vậy, d- = 2 tức là d= 4I đơn vị.
Vậy tỷ số giữa độ dài của đường chéo với độ dài của cạnh hình vuông là -v/2 . Tuy nhiên, ở đây đã xuất hiện một cú sốc thực sự – một phát hiện đã đánh đổ triết học số rời rạc của trường phái Pythagoras vốn được xây dựng một cách rất tỷ mỉ. Một trong những người theo trường phái Pythagoras (có thể là Hippasus ở Metapontum, sống vào nửa đầu thế kỷ thứ 5 trước CN) đã chứng minh được rằng căn bậc hai của 2 không thể được biểu thị nhìn là một tỷ số của hai số nguyên nào. Hay nói cách khác, ngay cả khi chúng ta có vỗ hạn các số nguyên để lựa chọn thì việc tìm ra hai số nguyên có tỷ số bằng 4I cũng thất bại ngay từ đầu. Các con số có thể được biểu thị bằng tỷ- số của hai số nguyên (như 3/17, 2/5, 1/10, 6/1) đều được gọi là các số hữu tỳ. Nhưng người kế tục Pythagoras đã chứng minh được rằng không phải là một số hữu tỷ. Trên thực tế, thì ngay sau phát hiện đầu tiên này, người ta thấy rằng cả hay căn bậc hai của một số bất kỳ không phải là các số chính phương (như 16 hay 25) cũng đều như vậy. Kết quả thật là ấn tượng – những người theo trường phái Pythagoras đã chứng tỏ được rằng ngoài vô hạn các số hữu tỷ ra, chúng ta buộc phải bổ sung thêm vô hạn các số mới – mà ngày nay chúng ta gọi là số vô tỷ. Khỏi phải nói về tầm quan trọng của khám phá này đối với sự phát triển tiếp sau của giải tích toán. Ngoài những thứ khác ra, phát hiện này đã dẫn đến việc thừa nhận sự tồn tại của vô hạn các số “đếm được” và “không đếm được” vào thế kỷ 19. Tuy nhiên, những người theo trường phái Pythagoras đã bị choáng váng bởi cuộc khủng hoảng về triết học này tới mức triết gia Iamblichus đã tuyên bố rằng người đã khám phá ra số vô tỷ và hé lộ bản chất của chúng với “những kẻ không xứng đáng được chia sẻ lý thuyết này” là “đáng căm ghét tới mức không chỉ bị loại khỏi cộng đồng [của những người theo trường phái Pythagoras và cuộc sống mà thậm chí còn dựng cho y một tâm bia mộ với lý do người đồng đội trước đây [của họ] đã bị loại khỏi cuộc sống giữa loài người”.
Từ khóa tìm kiếm nhiều: nhà bác học
